Geometrie non euclidee
Le geometrie non-euclidee nascono dal tentativo di dimostrare, per assurdo, il V Postulato di Euclide. Quest'ultimo ha rappresentato, nel corso dei secoli, un grosso scoglio filosofico alla evidente correttezza della geometria euclidea.
| Table of contents |
|
|
Il perché di questa "ossessione" per il quinto postulato è intuibile, essi sono infatti:
Tuttavia, più familiare è senz'altro la forma moderna del postulato:
Storia delle geometrie non euclidee
I postulati di Euclide
È facile constatare che mentre i primi sono immediatamente evidenti, il quinto non sembra immediatamente vero, tant'é che lo stesso Euclide dimostra le prime 28 proposizioni del I libro degli Elementi senza farne uso.
Mentre l'esistenza della parallela è assicurata dagli altri quattro postulati, l'unicità viene assunta assiomaticamete nella geometria euclidea.Tentativi di dimostrazione del quinto postulato
Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: Proclo nel suo Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide ci riferisce delle "dimostrazioni" di Posidonio e Tolomeo, proponendone poi una sua. Altri tentativi furono compiuti dai matematici arabi, tra cui Nasir ad-Din at-Tusi che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un triangolo.
In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un assioma equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione.
Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "due rette che non s'incontrano mai", per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il luogo dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo.Dimostrazione per assurdo
Frustrati dagli insuccessi ottenuti cercando una dimostrazione diretta del postulato, gli studiosi provano ad assumere per validi i primi quattro postulati e creare delle geometrie alternative, sperando di arrivare ad un contraddizione. Questo avrebbe dimostrato che il quinto postulato deve necessariamente essere vero.
Uno dei maggiori esponenti di questa scuola fu Giovanni Gerolamo Saccheri, che nel 1733 credendo di esservi riuscito, pubblica Euclides ab omni naevo vindicatus. Anche se difettosa, e passata sotto silenzio, la dimostrazione per assurdo di Saccheri indicò la strada per la creazione di geometrie non-euclidee, nella speranza di portarle ad una contraddizione. Opera questa in cui si impegnarono molti uomini di scienza tra il XVIII e il XIX secolo.
Pochi però erano matematici di rilievo: Gauss, che non pubblicò mai nulla sull'argomento per timore delle strida dei beoti, Lagrange e Legendre costituiscono delle fulgide eccezioni. In effetti, Roberto Bonola, nel suo volume La geometria non euclidea, pubblicato da Zanichelli nel 1906, si trovò a dover inserire nei capitoli storici molti "dilettanti" tra i fondatori della geometria non euclidea: Janos Bolyai era un militare, Ferdinando Schweikart era un avvocato, e via di questo passo. Bolyai, inoltre, era figlio di un amico di Gauss, Farkas: dopo aver ricevuto l'opera di Janos nel gennaio 1832, Gauss scrisse a Farkas dicendo:
È di rilievo notare che i risultati della geometria "astrale", come Gauss chiamava la geometria iperbolica, erano in stridente contrasto con la filosofia kantiana, in quanto questa assumeva come giudizio sintetico a priori la geometria euclidea.Bernhard Riemann
Anche se aveva tenuto per sè i risultati più "rivoluzionari, il saggio Disquisitiones generales circa superficies curvas pubblicato da Gauss nel 1828 segnò una svolta nell'indagine delle geometrie alternative. L'attenzione viene rivolta alle proprietà intrinseche delle superfici, a prescindere dallo spazio in cui sono immerse: questo metodo d'indagine viene esteso da Berhard Riemann nel suo scritto Sulle ipotesi che sono di fondamento della Geometria del 1854 che venne pubblicato postumo nel 1867. Riemann getta le basi di una geometria totalmente nuova, detta geometria riemanniana, in cui il problema delle parallele non si pone nemmeno, sostituendo il concetto di retta con quello metrico di curva geodetica, ossia il percorso di minor distanza tra due punti.
Si possono così costruire geometrie a curvatura costante, oppure che varia in ogni punto, in qualunque numero di dimensioni, ognuna corrispondente ad una superficie, detta varietà riemanniana n-dimensionale. In quest'ottica, la geometria euclidea è la geometria naturale del piano. La geometria riemanniana è quella sferica, a curvatura costante positiva, dove le geodetiche, non sono mai parallele, essendo in una sfera archi di cerchio massimo ed hanno quindi sempre in comune due punti, i poli.Eugenio Beltrami
A partire dai risultati di Riemann, Eugenio Beltrami dimostra la consistenza della nuova geometria e costruisce un modello in carta di una superficie a curvatura costante negativa, la pseudosfera iperbolica. Per comprendere la marginalità dell'argomento all'epoca, basti ricordare che un giornale dell'epoca definì il modello in carta la Cuffia della Nonna, nome che tutt'ora ritorna nella descrizione del modello all'Universià di Pavia, dove è conservato, ossia Cuffia di Beltrami. A questo riguardo Beltrami scrisse a Houel il 19 dicembre 1869:
Nel suo Saggio di interpretazione della geometria non euclidea del 1867 Beltrami costruì il primo modello di geometria iperbolica. Particolare di rilievo è che Beltrami scrisse il saggio senza essere a conoscenza dei risultati di Riemann, fatto che lo indusse a lasciarlo da parte per leggere l'Habilitationsvortrag di Riemann di cui sopra, prima di darlo alle stampe.
Una più complessa rappresentazione del piano iperbolico è un cerchio, in cui le rette del primo tipo sono archi di circonferenza con centro esterno al piano iperbolico e perpendicolari al bordo del piano iperbolico, mentre quelle del secondo tipo sono i diametri del piano iperbolico. In questo caso i due archi a sinistra sono paralleli al diametro e all'arco a destra. Questi ultimi due non sono paralleli tra loro.
Henri Poincaré
modello di Beltrami aveva il difetto di essere valido solo localmente, come provò David Hilbert nel 1901, e quindi dopo la morte di Beltrami, tuttavia il modello di Henri Poincaré dimostrò che non sarebbe stato possibile dimostrare per assurdo la validità del postulato mediante l'autocontraddizione delle nuove geometrie, in quanto queste erano equivalenti a quella euclidea. Per fare questo, egli fornì un modello euclideo delle geometrie non euclidee, "traducendo" gli oggetti euclidei in equivalenti non-euclidei, per cui continuino a valere i teoremi euclidei.
Ad esempio, prendiamo un semipiano delimitato da una retta r (orizzonte): definiamo rette
È facile vedere che continuano a valere i primi quattro postulati di Euclide, ma non il quinto: per un punto passano infinite rette parallele ad una retta data. Infatti, considerando la retta perpendicolare più a sinistra, le due semicirconferenze non la intersecano, e sono dunque parallele alla retta. Esse hanno un punto in comune, e per quel punto è facile costruire infinite semicirconferenze che non intersecano la retta. Per inciso, anche l'altra retta è parallela alla prima, in senso più classico.
| Astronomia | Biologia | Botanica | Chimica | Ecologia | Economia | Fisica | Geometria | Informatica | Matematica | Medicina | Statistica | Telecomunicazioni |
